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概率解答题练习
  • 1.有同寝室的四位同学分别写一张贺年卡,先集中起来,然后每人去拿一张,设自己拿到自己写的贺卡的人数为,①求的概率分布;②求的数学期望与方差.

  • 2.有3张形状、大小、质量完全相同的卡片,在各张卡片上分别标上0、1、2。现从这3张卡片中任意抽出一张,读出其标号,然后把这张卡片放回去,再抽一张,其标号为,记.(1)求的分布列;(2)求.

  • 3.甲与乙两人掷硬币,甲用一枚硬币掷3次,记正面朝上的次为ξ;乙用这枚硬币掷2次,记正面朝上的次为η.

      (1)分别求ξ和η的期望;

      (2)规定;若ξ>η,则甲获胜,若ξ<η,则乙获胜,分别求出甲和乙获胜的概率.

  • 4.甲乙两人独立解某一道数学题,已知该题被甲独立解出的概率为0.6,被甲或乙解出的概率为0.92.

        (1)求该题被乙独立解出的概率;

        (2)求解出该题的人数的数学期望和方差.

  • 5.口袋里装有大小相同的卡片八张,其中三张标有数字1,三张标有数字2,二张标有数字3,第一次从口袋里任里任意抽取一张,放回口袋里后第二次再任意抽取一张,记第一次与第二次取到卡片上数字之和为.

    (Ⅰ)为何值时,其发生的概率最大?说明理由;

    (Ⅱ)求随机变量的期望E.

  • 6.A有一只放有x个红球,y个白球,z个黄球的箱子(xyz≥0,

    ),B有一只放有3个红球,2个白球,1个黄球的箱子,两人各自从自己的箱子中任取一球比颜色,规定同色时为A胜,异色时为B胜.

      (1)用xyz表示B胜的概率;

      (2)当A如何调整箱子中球时,才能使自己获胜的概率最大?

  • 7.某中学有5名体育类考生要到某大学参加体育专业测试,学校指派一名教师带队,已知每位考生测试合格的概率都是

    (1)若他们乘坐的汽车恰好有前后两排各3个座位,求体育教师不坐后排的概率;

    (2)若5人中恰有r人合格的概率为,求r的值;

    (3)记测试合格的人数为,求的期望和方差.

  • 8.袋中有1个白球和4个黑球,每次从其中任取一个球,直到取到白球为止.

    (Ⅰ)当每次取出的黑球不再放回时,求取球次数的数学期望与方差;

    (Ⅱ)当每次取出的黑球仍放回去时,求取球次数的数学期望与方差.

  • 9.从分别写有的九张卡片中,任意抽取两张,计算:

    (Ⅰ)卡片上的数字都是奇数的概率;

    (Ⅱ)当两张卡片上的数字之和能被3整除时,就说这次试验成功,求在15次试验中成功次数的数学期望.

  • 10.甲、乙两人参加一次人人中彩票安卓口语考试,已知在备选的10道试题中,甲能答对其中6题,乙能答对其中的8题,规定每次考试都从备选题中随机抽出3题进行测试,至少答对2题才算合格。

    (Ⅰ)求甲答对试题数的概率分布及数学期望,

    (Ⅱ)求甲、乙两人至少有一人考试合格的概率.

  • 11.学校文娱队的每位队员唱歌、跳舞至少会一项,已知会唱歌的有2人,会跳舞的有5人,现从中选2人.设为选出的人中既会唱歌又会跳舞的人数,且.(I) 求文娱队的人数;(II) 写出的概率分布列并计算

  • 12.某中学篮球队进行投篮训练,每人在一轮练习中最多可投篮4次,现规定一旦命中即停止该轮练习,否则一直投到4次为止.已知运动员甲的投篮命中率为0.7.

    (1) 求一轮练习中运动员甲的投篮次数ξ的分布列,并求出ξ的期望Eξ(结果保留两位有效数字);

    (2) 求一轮练习中运动员甲至少投篮3次的概率.

  • 13.甲、乙两名射击运动员,甲射击一次命中10环的概率为,乙射击一次命中10环的概率为s,若他们各自独立地射击两次,设乙命中10环的次数为ξ,且ξ的数学期望Eξ=表示甲与乙命中10环的次数的差的绝对值.

      (1)求s的值及的分布列, (2)求的数学期望.

    概率解答题练习

  • 1.有同寝室的四位同学分别写一张贺年卡,先集中起来,然后每人去拿一张,设自己拿到自己写的贺卡的人数为,①求的概率分布;②求的数学期望与方差.

  • 1.解:(1)分布列


    0
    1
    2
    4





    (2).

  • 2.有3张形状、大小、质量完全相同的卡片,在各张卡片上分别标上0、1、2。现从这3张卡片中任意抽出一张,读出其标号,然后把这张卡片放回去,再抽一张,其标号为,记。(1)求的分布列;(2)求

    解:(1)可能取的值为0、1、2、4。           ……(2分)

     且  ……(6分)

    所求的分布列为:                                                                       


    0
    1
    2
    4





    ……(8分)

    (2)由(1)可知,       ……(11分)

          ……(14分)

  • 3.(本题满分14分)甲与乙两人掷硬币,甲用一枚硬币掷3次,记正面朝上的次为ξ;乙用这枚硬币掷2次,记正面朝上的次为η.

      (1)分别求ξ和η的期望;

      (2)规定;若ξ>η,则甲获胜,若ξ<η,则乙获胜,分别求出甲和乙获胜的概率.

    ξ的可能取值为0,1,2,3则ξ的分布列为

    ξ
    0
    1
    2
    3





    则Eξ

    η的可能取值为0,1,2则η的分布列为

    η
    0
    1
    2




    则Eη=

    所以ξ、η的数学期望分别为、1

    (2)P(ξ>η)=

       P(ξ<η)=

    所以甲获胜的概率为,乙获胜的概率为

  • 4.甲乙两人独立解某一道数学题,已知该题被甲独立解出的概率为0.6,被甲或乙解出的概率为0.92.

        (1)求该题被乙独立解出的概率;

        (2)求解出该题的人数的数学期望和方差.

    解:(1)记甲、乙分别解出此题的事件记为A、B.

    设甲独立解出此题的概率为P1,乙为P2.(2分)

    则P(A)=P1=0.6,P(B)=P2


    0
    1
    2
    P
    0.08
    0.44
    0.48

  • 5.口袋里装有大小相同的卡片八张,其中三张标有数字1,三张标有数字2,二张标有数字3,第一次从口袋里任里任意抽取一张,放回口袋里后第二次再任意抽取一张,记第一次与第二次取到卡片上数字之和为.

    (Ⅰ)为何值时,其发生的概率最大?说明理由;

    (Ⅱ)求随机变量的期望E

    解(I)依题意,随机变量的取值是2、3、4、5、6…………2分

    因为P(=2)=;P(=3)=

      P(=4)=;P(=5)=

      P(=6)=;…………7分

    所以,当=4时,其发生的概率P(=4)=最大…………8分

    (Ⅱ)E=………………12分

  • 6.(本小题满分12分)A有一只放有x个红球,y个白球,z个黄球的箱子(xyz≥0,

    ),B有一只放有3个红球,2个白球,1个黄球的箱子,两人各自从自己的箱子中任取一球比颜色,规定同色时为A胜,异色时为B胜.

      (1)用xyz表示B胜的概率;

      (2)当A如何调整箱子中球时,才能使自己获胜的概率最大?

    解:(1)显然A胜与B胜为对立事件,A胜分为三个基本事件:

    ①A1:“A、B均取红球”;②A2:“A、B均取白球”;③A3:“A、B均取黄球”.

    (2)由(1)知

    于是,即A在箱中只放6

    个红球时,获胜概率最大,其值为

  • 7.某中学有5名体育类考生要到某大学参加体育专业测试,学校指派一名教师带队,已知每位考生测试合格的概率都是

    (1)若他们乘坐的汽车恰好有前后两排各3个座位,求体育教师不坐后排的概率;

    (2)若5人中恰有r人合格的概率为,求r的值;

    (3)记测试合格的人数为,求的期望和方差。

    解:(1)体育教师不坐后排记为事件A,则

    (2)每位考生测试合格的概率,测试不合格的概率为

    ,即

     

    (3)∵- 

     

  • 8.袋中有1个白球和4个黑球,每次从其中任取一个球,直到取到白球为止.

    (Ⅰ)当每次取出的黑球不再放回时,求取球次数的数学期望与方差;

    (Ⅱ)当每次取出的黑球仍放回去时,求取球次数的数学期望与方差。

    解(Ⅰ)当每次取出的黑球不再放回时,设随机变量是取球次数,因为每次取出的黑球不再放回,所以的可能取值为1,2,3,4,5,易知

    故随机变量的概率分布列为:


    1
    2
    3
    4
    5
    P





     …………….6分

    (Ⅱ)当每次取出的黑球仍放回去时,设随机变量是取球次数,因为每次取出的黑球仍放回去,所以的可能取值是一切正整数,

    所求概率分布为


    1
    2
    3

    n

    P






  • 9.从分别写有的九张卡片中,任意抽取两张,计算:

    (Ⅰ)卡片上的数字都是奇数的概率;

    (Ⅱ)当两张卡片上的数字之和能被3整除时,就说这次试验成功,求在15次试验中

    成功次数的数学期望。

    (Ⅰ)

    (Ⅱ)一次试验成功的概率为,从而,故

  • 10.甲、乙两人参加一次人人中彩票安卓口语考试,已知在备选的10道试题中,甲能答对其中6题,乙能答对其中的8题,规定每次考试都从备选题中随机抽出3题进行测试,至少答对2题才算合格。

    (Ⅰ)求甲答对试题数的概率分布及数学期望。

    (Ⅱ)求甲、乙两人至少有一人考试合格的概率。

    解:(Ⅰ)依题意,甲答对试题数的概率分布如下:


    0
    1
    2
    3





    …………4分

    甲答对试题数的数学期望:

    ……………………………………4分

    (Ⅱ)设甲、乙两人考试合格的事件分别为

      则

      …………………理9分(文6分)

      甲、乙两人考试均不合格的概率为:

     

    ∴甲、乙两人至少一个合格的概率为………理文均12分

  • 11.学校文娱队的每位队员唱歌、跳舞至少会一项,已知会唱歌的有2人,会跳舞的有5人,现从中选2人.设为选出的人中既会唱歌又会跳舞的人数,且

    (I) 求文娱队的人数;

    (II) 写出的概率分布列并计算

    解:设既会唱歌又会跳舞的有x人,则文娱队中共有(7-x)人,那么只会一项的人数是

    (7-2 x)人.

     (I)∵

    .……………………………………3分

    ∴x=2.     ……………………………………5分

    故文娱队共有5人.……………………………………7分

    (II) 的概率分布列为


    0
    1
    2
    P



    ,……………………………………9分

    ,……………………………………11分

     =1. …………………………13分

  • 12.某中学篮球队进行投篮训练,每人在一轮练习中最多可投篮4次,现规定一旦命中即停止该轮练习,否则一直投到4次为止.已知运动员甲的投篮命中率为0.7.

    (3) 求一轮练习中运动员甲的投篮次数ξ的分布列,并求出ξ的期望Eξ(结果保留两位有效数字);

    (4) 求一轮练习中运动员甲至少投篮3次的概率.

    解:(1)ξ的可能取值为1,2,3,4,

    ξ=1时,P(ξ=1)=0.7

    ξ=2时,P(ξ=2)=0.7(1-0.7)=0.21;

    ξ=3时,P(ξ=3)=0.7(1-0.7)2=0.063

    ξ=4时,P(ξ=4)=0.7(1-0.7)3+(1-0.7)4=0.027.

    ∴ξ的分布为

    ξ
    1
    2
    3
    4
    P
    0.7
    0.21
    0.063
    0.027

    ∴Eξ=1×0.7+×2×0.21+3×0.063+4×0.027=1.4

    (2)P(ξ≥3)=P(ξ=3)+P(ξ=4)=0.063+0027=0.09

  • 13.甲、乙两名射击运动员,甲射击一次命中10环的概率为,乙射击一次命中10环的概率为s,若他们各自独立地射击两次,设乙命中10环的次数为ξ,且ξ的数学期望Eξ=表示甲与乙命中10环的次数的差的绝对值.

       (1)求s的值及的分布列,

       (2)求的数学期望.

    解:(1)依题意知ξ∽B(2,s),故Eξ=2s=

      ∴s=.                   …………2分

      的取值可以是0,1,2.

    甲、乙两人命中10环的次数均为0次的概率是

    甲、乙两人命中10环的次数均为1次的概率是

    甲、乙两人命中10环的次数均为2次的概率是

    (=0)=.         …………6分

    甲命中10环的次数为2次且乙命中10环的次数为0次的概率是

    甲命中10环的次数为0次且乙命中10环的次数为2次的概率是

    (=2)==,               

    (=1)=1(=0)(=2)=. ………10分

    的分布列是


    0
    1
    2




    ………12分

    (2)E=.      …………14分